Дисперсия

10.09.2026 • Обновлено: 10.09.2026

автор

Что такое дисперсия

Само явление известно, наверное, тысячи лет — просто называлось иначе. Искусственно дисперсию впервые продемонстрировал Ньютон в XVII веке: солнечный свет, пропущенный через стеклянную призму, разложился в спектр.

Разложение белого света стеклянной призмой

Геометрическая оптика позволяет объяснить, что происходит, но не почему. Что происходит: луч падает на стекло не по нормали, значит по закону преломления он меняет направление распространения. А то, что он раскладывается в спектр, означает ровно одно — у красной, жёлтой, зелёной, синей компонент разные показатели преломления. Если угол преломления для них разный, значит разный и показатель преломления.

Компоненты с разными длинами волн преломляются в призме на разные углы

Зависимость $n(\lambda)$

Дальше это измеряют напрямую: берётся хорошая призма, направляется луч, всё промеряется — и строится зависимость показателя преломления от длины волны.

Видимый диапазон — примерно от 400 до 750 нм: 400 нм — фиолетовая область, 750 нм — красная. Для стекла кривая в этом диапазоне монотонно спадает. На лекции она рисовалась в диапазоне примерно от 1,67 до 1,62 — это величина немного завышенная, взятая для наглядности. Обычное оконное стекло имеет показатель преломления около полутора, и у него кривая идёт где-то от 1,53 до 1,51.

Зависимость n(λ) для стекла в видимом диапазоне

Логика простая: чем меньше показатель преломления, тем слабее преломляется луч; чем выше — тем сильнее.

Нормальная и аномальная дисперсия

Нормальная дисперсия — показатель преломления убывает с ростом длины волны. «Нормальная» в смысле «наблюдаемая в 99 % случаев». У стекла в видимом диапазоне дисперсия нормальная — в любом стекле.
Аномальная дисперсия — обратная зависимость. Встречается крайне редко, но её можно постараться увидеть. Наблюдается только вблизи области поглощения: там, где вещество поглощает, кривая меняет ход.

Терминология тут ровно та же, что с обыкновенным и необыкновенным лучом: если что-то наблюдается в 90 случаях из 100 — это норма, а если один случай на сто, то это исключение, которое чем-то объясняется (структура вещества, его особенности), но всё равно аномалия.

Области поглощения

Поизучав разные вещества, оптики пришли к выводу, что есть вещества, которые не пропускают излучение — причём не всё, а какой-то узкий спектральный диапазон (диапазон длин волн, который не проходит).

Оконное стекло не пропускает ультрафиолет — просто его отрезает. Отсюда практические следствия:

Загорать под оконным стеклом бессмысленно.
Лампы для искусственного загара из обычного стекла делать тоже бессмысленно — там нужно кварцевое стекло, которое ультрафиолет пропускает.
А вот все бытовые лампы наоборот делают из обычного стекла — именно для того, чтобы вы не ловили глазами ультрафиолет.
Сварка: даже с затемнённым стеклом на маске (то есть без специального стекла) с электродом можно поработать минут 15–20, после чего человека надо госпитализировать. Ультрафиолет там очень мощный.

Откуда брать числа

Математические модели, выводящие эти кривые аналитически, существуют, но в большинстве случаев пользуются экспериментальными данными: раньше — справочными таблицами, теперь — справочными сайтами. Есть очень большой сайт Refractive Index, где лежат показатели преломления и коэффициенты поглощения для огромного набора материалов, в том числе каталоги оптических стёкол.

Дисперсия как проблема оптики

Наличие дисперсии создаёт существенную проблему, если вы хотите строить цветное изображение.

Если картинка монохроматическая — всё отлично: снимаете всё в красных тонах (такой вы авангардист) или в зелёных, навернули зелёный светофильтр, отфокусировались, вопросов нет.

А с цветной картинкой так: объект даёт световой пучок, дальше линза объектива, дальше фотопластинка или ПЗС-матрица. Фиолетовое излучение преломляется сильно, зелёное — хуже, красное — ещё хуже. В результате изображение строится в трёх разных местах, и вы можете сколь угодно двигать плоскость приёмника: отфокусируете красную область — расфокусировано всё остальное, отфокусируете зелёную — расфокусированы красная и синяя.

Решение известно лет сто: кривые $n(\lambda)$ у разных стёкол разные, поэтому ставится несколько линз, и их дисперсии оптимизируются так, чтобы суммарно три точки собрались в одну. Картинка получается резкой.

Платить за это приходится размером объектива. Профессиональный объектив никогда не будет плоским — он всегда довольно длинный: у профессионального фотоаппарата это где-то 6 см в длину и минимум 5–6 см в диаметре (то самое «пятидесятимиллиметровое» стекло). У телекамеры, которой снимают футбольный матч, объектив сантиметров 15–20 в длину. Большая оптика дорогая, поэтому и профессиональные приборы дорогие.

Отступление про разрешение

ПЗС-матрица — чувствительный элемент всех современных фотографирующих устройств: она фиксирует попадание излучения, из чего и строится цифровая картинка. Свои проблемы у неё тоже есть — профессионалы пользуются ей не очень активно, потому что её дискретность — микроны, а у фотопластинки предельная дискретность гораздо мельче.

Кроме того, разрешение зависит от размера оптики, поэтому у профессионального аппарата объектив и длинный, и большого диаметра — как раз чтобы увеличить разрешение. Когда вам рассказывают, что сотовый телефон обеспечивает такое же разрешение, как профессиональный фотоаппарат, вас обманывают. Заметить это можно, только если растянуть картинку на стену: на экране монитора с разрешением порядка 2000 × 1000 разница между 15 мегапикселями телефона и профессиональным аппаратом почти не видна, а вот на стене фотография с телефона начинает выглядеть как картинка из бумаги. Мегапикселей у телефона может быть много, но размер матрицы вы изменить не в состоянии, а объектив диаметром в миллиметры по чисто дифракционным причинам не способен дать ту же картинку, что объектив диаметром в несколько сантиметров. Во сколько раз отличается диаметр — примерно во столько раз будет хуже.

Отступление про группы вычислительниц

Пока не было вычислительной техники, такие расчёты (в том числе расчёт критической массы в Манхэттенском проекте и в Институте Курчатова) делали группы девушек с арифмометрами: им выдавали куски дифференциальных уравнений для численного подсчёта на ручных машинках. Девушки считают гораздо аккуратнее: они не пытаются считать в голове, а считают по счёту, поэтому процент ошибок у них существенно меньше. Обе группы разработчиков, кстати, независимо друг от друга пришли к этому решению как к наиболее оптимальному по использованию вычислительных ресурсов.

Разные показатели преломления — разные скорости

Дисперсия никуда не уходит даже после исправления объектива. Разные показатели преломления означают, что волны движутся с разными скоростями:

v = \frac{c}{n}

Разница в сотые доли показателя преломления кажется маленькой, и теоретически она действительно небольшая — но на практике она выливается в совершенно конкретные проблемы (см. раздел про расплывание пакетов).

Спектральный анализ

Область применимости дисперсии, которая работает до сих пор (хотя в современных приборах вместо призм чаще стоят дифракционные решётки).

Схема призменного монохроматора (спектрометра)

Представьте, что слева у вас не солнце, а неизвестный металлический сплав — неизвестный, потому что вы притащили его у соседей, а подробно расспросить уже не получается. Вещество нагревают, оно начинает светиться, и излучение раскладывают в спектр.

Штука в том, что каждый атом имеет строго свой спектр — как подпись или отпечатки пальцев. Это связано с расположением его электронов и размерами орбит. Раньше были таблицы — точно так же, как у полицейских были картотеки отпечатков всех пойманных; теперь это делает алгоритм корреляции, перебирающий электронную библиотеку. Вы сравниваете свой спектр и выясняете, из чего вещество состоит. Дальше по интенсивности спектральных линий современные приборы позволяют определить и процентные соотношения — вплоть до долей процента: что в основе, какие добавки.

Единственное, чего спектральный анализ не даёт, — технологии. Состав вы узнаете, а каким образом получен сплав — нет, потому что всё, что связано с металлургией, это довольно хитрые приёмы с несколькими тысячами лет истории: закалка стали, время закалки, температура, добавки.

Закалка стали работает примерно как растворение сахара в воде. Если насыпать много сахара в горячий чай и потом остудить, сахар выпадет крупными кристаллами. А если стакан моментально заморозить — сахар останется распределённым мелко. Так же и с углеродом в железе: при резком охлаждении нагретого железа получается мелкодисперсная структура.

Отдельный вывод для общего образования: когда в учебнике написано, что Солнце состоит из водорода, это не значит, что кто-то туда летал и заходил. Это значит, что солнечное излучение разложили в спектр, посмотрели, что там есть, и обнаружили очень много водорода, ещё гелий и всякую мелочь.

Радуга

Самый наглядный пример дисперсии — солнечный свет на водяных каплях. Нужно, чтобы капли висели перед вами, а солнце было за спиной. Попадающий в каплю солнечный свет раскладывается — не на «красный-зелёный-синий», а на непрерывный спектр от красной области до синей, и до вас приходит характерная картина.

Дисперсия света на водяных каплях и образование радуги

Условия: в воздухе должна быть водяная взвесь (высокая влажность, обычно после дождя) и солнце. Если взвесь с утра до вечера, как за окном, а солнце непонятно где — по известному анекдоту про Петербург.

Типы спектров

По виду:

сплошной — присутствуют все длины волн от фиолетовой области до красной;
линейчатый — отдельные линии;
полосатый — полосы.

По происхождению:

Спектр испускания — вещество нагрели, оно светится, атомы испускают. Это яркие линии на чёрном фоне (то есть на отсутствии излучения).
Спектр поглощения — в колбу загнали некоторое количество вещества и просвечиваете его сплошным спектром. Если при разложении вы видите тёмные полосы, значит именно эти длины волн вещество поглощает.

Спектры испускания: сплошной и линейчатые спектры Na, H₂, He

Замечательным образом эти две картинки при наложении друг на друга дают сплошной спектр: они полностью дополняют друг друга по принципу обратимости — что поглощает, то и испускает.

Для регистрации можно обойтись и без цветной фиксации: если взять химию, которая меняет цвет под воздействием соответствующего излучения (например, состав, светящийся под ультрафиолетом), то в чёрно-белом диапазоне вы получите те же линии — в зависимости от длины волны в разных местах появятся потемнения или, наоборот, посветления.

Дискретность спектров и модель Бора

Именно наличие таких спектров подтолкнуло к квантовой механике. Казалось бы, нагретое тело должно светить сплошным спектром. Но если в стеклянную колбу закачать водород и пропускать через него электрический разряд — то есть фактически греть его, — он начинает светить розовым. А если это розовое разложить в спектр, выясняется, что там 1, 2, 3, 4 линии, и больше ничего нет. Линии расположены с каким-то шагом, между ними пусто — налицо дискретность. Почему их четыре, почему они расположены именно так — это следующий вопрос.

Бор прославился тем, что построил первую модель водорода. Модель работала для водорода и для гелия (второй элемент таблицы Менделеева), а дальше не работала вообще. Но физики сумели её обобщить на все элементы, у которых один электрон на внешнем слое, — это первый левый столбец таблицы: натрий, калий и так далее. Приём очень простой и понятный программисту: если на последнем слое один электрон, считаем, что электрон вообще один, а всё остальное — большое ядро с заряда $+1$ .

У водорода один протон и один электрон: заряд ядра $+1$ , электрон $-1$ . У натрия 11 протонов и 11 электронов: 11 положительных и 10 отрицательных зарядов в сумме дают $+1$ , поэтому мы говорим про «раздутое ядро», включающее в себя 10 электронов, и один внешний электрон. И боровская математика тут же начинает работать — конечно, с погрешностью, но работает. Именно из-за своей простоты моделька до сих пор активно используется при решении тех или иных задач.

Тонкая структура: линии двойные

Дальше всё зависит от вашей оптики. Скажем, натрий (точнее, пары натрия, загнанные в лампу) светит жёлтым. Домашний эксперимент: посыпать солью работающую газовую горелку — пламя станет жёлтым, потому что натрий из соли возбуждается, проходя через раскалённые газы.

Но жёлтая линия натрия на самом деле двойная — два жёлтых компонента с разницей порядка 2–3 нм. Глазом они неразличимы, при хорошей оптике различимы (в лабораторной работе эти две линии видны, при плохой оптике сливаются). То же самое с водородом: красная линия на самом деле двойная, и остальные тоже.

Двойные они потому, что электрон может иметь разный спин — ровно два состояния. В зависимости от состояния спина у него получается чуть разная энергия, что и выражается в виде двух близких линий. Расположены они настолько близко, что без профессионального спектрометра линия выглядит одной.

Немного математики: к дисперсионному уравнению

Отправная точка — уравнения Максвелла. Для простоты берём диэлектрик: магнитная проницаемость $\mu = 1$ , $\varepsilon = 1$ , и нужна слабая проводимость.

Почему у диэлектрика проводимость всё-таки есть

У диэлектрика проводимость есть, просто порядка $10^{-8}$ (соответственно, удельное сопротивление того же порядка), и поэтому её не учитывают. Чтобы проводить, нужны свободные носители. Оторвать электрон в диэлектрике можно — энергия отрыва где-то $10^{-19}$ Дж, это очень-очень мало. Проблема в другом: вы не оторвёте столько электронов, чтобы токи стали реальными. Если оторвать один электрон на кубометр или тысячную долю процента всех электронов, ток пойдёт, но мерить его придётся в пикоамперах и фемтоамперах — любой амперметр покажет ноль. А закачивая энергию, чтобы электронов стало достаточно, вы скорее расплавите или испарите диэлектрик, чем наберёте нужное количество. Именно поэтому он диэлектрик.

Приведение к волновому уравнению

Задача — из двух уравнений первого порядка на две переменные получить одно уравнение второго порядка. Это стандартный приём: из двух уравнений первого порядка получается одно второго, и наоборот.

Второй закон Ньютона — это дифференциальное уравнение второго порядка (ускорение — вторая производная), но его можно расписать через два уравнения первого порядка: ускорение — производная скорости, скорость — производная координаты. Именно так любой компьютер и решает дифференциальные уравнения: решать уравнения выше первого порядка библиотеки не умеют, зато умеют решать систему уравнений первого порядка.

В первом уравнении Максвелла дорисовываем операцию $\operatorname{rot}\operatorname{rot}$ :

\operatorname{rot}\operatorname{rot}\vec{E} = \operatorname{grad}\operatorname{div}\vec{E} - \Delta \vec{E}

При отсутствии свободных зарядов $\operatorname{div}\vec{E} = 0$ , первое слагаемое пропадает, остаётся лапласиан $\Delta\vec E$ (это именно лапласиан, а не «дельта»).

Дальше подставляется второе уравнение Максвелла, в котором первое слагаемое — плотность тока:

\vec{j} = \sigma \vec{E} = \frac{1}{\rho}\vec{E}

Это закон Ома в локальной форме: плотность тока в данной конкретной точке зависит от напряжённости электрического поля в этой точке и от проводимости вещества. Если проинтегрировать левую часть по площади, а правую по линии, слева окажется ток в амперах, справа напряжение в вольтах, а коэффициент пропорциональности между ними даст сопротивление — то есть школьный закон Ома.

Смысл первого слагаемого: при ненулевой проводимости $\sigma$ оно не исчезает. В результате волновое уравнение получается не с двумя слагаемыми, как привычно, а с тремя — появляется слагаемое с проводимостью:

\frac{\partial^2 E}{\partial x^2} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 E}{\partial t^2} + \mu_0\sigma\frac{\partial E}{\partial t}

При $\sigma = 0$ третье слагаемое исчезает и получается хорошо известное волновое уравнение.

Дисперсионное уравнение

В качестве решения рассматриваем плоскую электромагнитную волну, попадающую в среду. Колебания электрического поля происходят только в одном направлении, так что остальные слагаемые не нужны:

E = E_0 e^{\,i(\omega t - kx)}

Дифференцирование экспоненты по времени даёт $-\omega^2$ , двукратное дифференцирование по координате выносит $(-ik)(-ik)$ , а слагаемое с проводимостью даёт $i\omega\sigma$ . В итоге получается соотношение между частотой и волновым вектором, которое и называется дисперсионным уравнением:

k^2 = \frac{\omega^2}{c^2} - i\,\mu_0\sigma\omega

В квантовой механике это же соотношение используется с домножением левой и правой части на постоянную Планка: $\hbar\omega$ — это энергия, $\hbar k$ — импульс. Соответственно, дисперсионное соотношение там становится соотношением между энергией и импульсом. То, что $E = \hbar\omega$ , известно; то, что импульс фотона связан с волновым вектором, — логично: он направлен по направлению распространения волны, то есть по вектору $\vec k$ , и пропорционален ему с коэффициентом $\hbar$ .

Комплексный волновой вектор

Извлекаем корень:

k = \pm\frac{\omega}{c}\sqrt{1 - i\,\frac{\sigma}{\varepsilon_0\omega}}

Зависимость $k(\omega)$ — это и есть дисперсионное соотношение. Если под корнем занулить проводимость, корень становится единицей и $k = \omega/c$ , то есть зависимость линейная. С проводимостью она нелинейная.

Можно было бы остановиться на этой формуле, но аналитическую формулу анализировать легче, поэтому корень раскладывают в ряд — стандартный подход: если формула непонятная, разложим её в ряд и оставим пару членов. По Тейлору:

\sqrt{1-x} \approx 1 - \frac{x}{2}

И тогда сразу видно, что у результата есть действительная и мнимая части:

k = k' + i k''

Волновой вектор становится комплексным. Выглядит дико, но комплексный волновой вектор возможен — и только в поглощающей среде.

Почему свободные электроны означают поглощение

Электромагнитная волна — это очень быстрые колебания электрического и магнитного поля. Электрон, попавший в электрическое поле, начинает двигаться по полю. Поле меняет направление порядка $10^{15}$ раз в секунду: разогнанный за первую половину периода электрон на второй половине тормозится, потом его разгоняют обратно. Энергию на этот разгон надо откуда-то брать — её берут из волны. Поэтому если в среде есть свободные электроны, волна по определению будет затухать: вы просто болтаете электроны, процесс совершенно бессмысленный, но избавиться от него нельзя.

Отсюда:

Металл: электронов много, они сжирают всю падающую энергию. Вглубь она не идёт, потому что дальше следующие свободные электроны, — и переизлучается обратно. Металл отражает и непрозрачен.
Стекло: электронов мало, коэффициент поглощения где-то $10^{-8}$ , обычно его считают нулём и не напрягаются. Стекло всё-таки немножко поглощает, но увидеть это можно только на плите толщиной метра в два — или сложив вместе несколько десятков стёкол.

С составными стёклами есть отдельная проблема: на каждой границе раздела идёт отражение, потому что пластинки не прилегают идеально. Если промазать их оптическим клеем с тем же показателем преломления, что у стекла, кусок получится фактически сплошным. Если границы раздела нет — её не видно. Стеклянный шарик, опущенный в спирт, становится невидимым; наоборот, спирт, налитый в стеклянную бутылку, невидим — кажется, что бутылка литая. Опыт домашний: сгодится и 40 %-ный раствор. Заклейте горлышко там, где кончается жидкость, — и никаким образом не увидите, что в бутылке что-то есть. Более того, в пустой бутылке обычно виден внутренний слой стекла, а заполненная жидкостью с тем же показателем преломления выглядит литой.

Затухание

Подставим комплексное $k$ в формулу волны. Одно $k$ останется действительным, второе при домножении на $i$ станет действительным:

E = E_0 e^{\,i(\omega t - k'x)} \cdot e^{-k''x}

Первый множитель — обычная электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль оси; второй — экспонента с отрицательным показателем. Если взять действительную часть, получится косинус, домноженный на затухающую экспоненту.

Прохождение света через слой вещества толщины L и экспоненциальный спад интенсивности (закон Бугера)

В некоторых случаях затухание происходит на расстоянии, сравнимом с длиной волны, то есть меньше микрона, — и это как раз случай металла. Микрон в тысячу раз больше нанометра, а расстояние между атомами меньше нанометра, значит даже на микроне у вас несколько тысяч атомарных слоёв металла, и этого вполне хватает, чтобы поглотить падающее излучение.

Фазовая скорость и зависимость $n$ от частоты

В формуле для $k''$ видно, что поглощение зависит от частоты. Но главное — от частоты зависит и действительная часть, то есть показатель преломления.

Фазовая скорость — скорость распространения волны — определяется отношением частоты к действительной части волнового вектора:

v = \frac{\omega}{k'}, \qquad n = \frac{c}{v}

Раз $v$ — функция от $k$ , то показатель преломления становится функцией длины волны. При разных длинах волн (и, соответственно, разных частотах, потому что длина волны обратна частоте) получаются разные показатели преломления — что и наблюдается.

Волновой пакет

Самое интересное начинается, если излучение немонохроматическое. Строго монохроматического излучения физически не существует: 100 %-но монохроматическое излучение, то есть на одной частоте, должно быть бесконечным в пространстве и во времени — причём бесконечным в математическом смысле слова. 4,5 миллиарда лет существования Земли с точки зрения математики — не бесконечность.

Наглядный пример (собирается в том же Python): возьмём несколько синусоид с разными длинами волн — условно красную, жёлтую, зелёную и фиолетовую. Длина волны красной больше, чем фиолетовой. Сложим их. Получается волна, ограниченная в пространстве: слева и справа её нет. Причина видна на верхней картинке: чем дальше от центра, тем больше расхождение фаз, и при сложении максимум складывается не с максимумом, а с промежуточными значениями, иногда с другим знаком, — происходит затухание. Промежуток между длинами волн можно заполнить, тогда картинка станет плавной.

Откуда такие пакеты берутся физически: излучение испускается атомом, а атом не способен излучать бесконечно — иначе он отдал бы бесконечную энергию. Сбрасывает он, кстати, очень маленькую энергию, потому что всё, что связано с атомами, очень мало. По временной шкале это примерно 10 нс: за это время атом сбрасывает энергию. Значит, порция энергии, излучённая атомом, то есть фотон, имеет временной интервал порядка 10 нс. А раз есть конечный временной интервал, есть и конечный частотный интервал — фотон не монохроматичен по определению, поэтому он не может выглядеть как бесконечная синусоида. Фотон — это кусочек ограниченной волны.

Такая конструкция называется волновой пакет; в русскоязычной литературе чаще встречается волновой цуг, в англоязычной — wave train. Смысл везде один.

Любое излучение, ограниченное во времени, — это импульс: неважно, длительностью 10 секунд, одну секунду или микросекунду. У атома — 10 нс. Атомов много, поэтому получается поток таких частиц, и когда их очень-очень много, мы считаем, что идёт электромагнитная волна — просто это много-много таких пакетов, которые как-то складываются.

Если распространение происходит в вакууме, ничего интересного дальше не происходит: даже если конструкция составлена из разных длин волн, все они движутся с одинаковой скоростью $c$ . Фокусы начинаются, когда пакет попадает в среду: там показатели преломления разные, и если спектр достаточно широкий, разные части пакета начинают двигаться с разными скоростями.

Групповая скорость

Аналогия. Вас поставили в колонну и погнали на кросс. Нашли условно середину колонны и следим за ней. Скорость, с которой движется середина, — это и есть скорость группы, скорость колонны как целого. Передовик может убежать сколь угодно далеко вперёд, но если хвост растянулся, серединка будет где-то между первым и последним, и именно эта скорость задаёт скорость группы.

Формально волновой пакет расписывается как сумма $N$ монохроматических волн. Проще всего разобрать случай двух волн одинаковой амплитуды (при разных амплитудах формула суммирования не работает) — нужна только формула сложения косинусов:

\cos(\omega_1 t - k_1 x) + \cos(\omega_2 t - k_2 x) = 2\cos\!\left(\frac{\omega_1-\omega_2}{2}t - \frac{k_1-k_2}{2}x\right)\cos\!\left(\frac{\omega_1+\omega_2}{2}t - \frac{k_1+k_2}{2}x\right)

Полусумма частот даёт практически исходную частоту (особенно если $\omega_1$ близка к $\omega_2$ ), а полуразность задаёт медленно меняющуюся огибающую.

Пример на числах: пусть $\omega_1$ = миллион, $\omega_2$ = миллион один. Полусумма — миллион с половинкой, то есть практически миллион: погрешность порядка одной десятитысячной процента, её игнорируют. А полуразность — ровно половинка. То есть колебания огибающей происходят с частотой почти в миллион раз меньшей. Математически и то, и другое — косинус, «колебания», но частоты отличаются на порядки.

Перемножив быстрый косинус на медленный, получаем ограниченную структуру — тот самый волновой пакет: быстрые колебания внутри медленной огибающей.

Скорость, с которой движется максимум пакета, — это групповая скорость. Для двух волн она считается через отношение разницы частот к разнице волновых векторов, в общем случае — через производную:

u = \frac{d\omega}{dk}

Волновой пакет движется как целое с групповой скоростью u

Если сумму с очень малым шагом заменить интегрированием (математики так и советуют), общий пакет записывается интегралом по частотам вместо суммы.

Волновой пакет ширины Δx и его спектр |A(k)| шириной Δk вокруг k₀

Связь фазовой и групповой скорости

Обозначим $v = \omega/k$ и подставим $\omega = vk$ :

u = \frac{d(vk)}{dk} = v + k\frac{dv}{dk}

Смысл: фазовая и групповая скорости начинают отличаться только тогда, когда фазовая скорость зависит от длины волны. Если производная равна нулю, второе слагаемое исчезает и $u = v$ . Это имеет место только в одном случае — в вакууме: там фазовая скорость равна $c$ , второе слагаемое ноль, групповая скорость тоже $c$ .

Эту формулу удобнее переписать так, чтобы в неё входил не «скорость от длины волны», а показатель преломления как функция длины волны, — тогда зависимость $n(\lambda)$ подставляется прямо из справочника, и фазовая с групповой скоростью считаются напрямую. Сама выкладка есть в материалах лекции № 2 курса.

Расплывание пакета и передача информации

Главная вещь, которую здесь надо понять: если волновой пакет попадает в среду, разные его компоненты начинают двигаться с разной скоростью, и пакет расплывается — растягивается.

Простой пример для тех, кто не поверил: загоним колонну студентов не просто в кросс, а в грязь или в речку по колено. Это среда, где каждый студент движется со своей скоростью. Колонна растянется.

Теперь простая, но знакомая ситуация: мы хотим передавать информацию, и передаём её битами. Монохроматическая волна способна передать ровно один бит: она есть — единица, нет — ноль. Если вы хотите передавать нули и единицы много раз в секунду, придётся включать и выключать, а значит появляется длительность включения. Хотите 100 Мбит/с — длительность импульса порядка $1/(100\ \text{Мбит/с})$ , а фактически меньше, потому что между импульсами нужен промежуток: две логические единицы должны быть различимы, поэтому импульсы лучше делать короче периода.

Но чем короче импульс, тем шире диапазон частот, который занимает волновой пакет. Чем шире диапазон частот, тем сильнее различаются скорости его компонент. Чем сильнее различаются скорости, тем быстрее пакет расплывается в среде.

Если пакет расплылся всего лишь в два раза, он налетает на следующий. То расстояние, на котором пакет расплывается вдвое, и есть расстояние, на котором вы способны передать сигнал без его восстановления (регенерации).

Математика простая. Есть исходная длина пакета $l_0$ . Через время $t$ передняя и задняя части, движущиеся со скоростями $v_1$ и $v_2$ , разойдутся:

\Delta l = \Delta v \cdot t, \qquad \Delta v = v_1 - v_2 = \frac{c}{n_1} - \frac{c}{n_2}, \qquad t = \frac{L}{v}

Это кинематика 7 класса: есть разница скоростей — значит за время $t$ быстрые и медленные компоненты удалятся друг от друга. В тот момент, когда $\Delta l$ станет равно исходному размеру пакета, два соседних пакета сольются, и связь на этом закончится.

Величины кажутся очень маленькими (сотые доли показателя преломления; длительность 5 нс соответствует примерно 100 МГц), и расстояния кажутся большими — но нет: не сотни метров и не километр, побольше, однако далеко не тысячи. За пару десятков километров разбег как раз набегает достаточный, чтобы пакет растянулся.

Нормальная и аномальная дисперсия через скорости

$\dfrac{dn}{d\lambda} < 0$ , групповая скорость меньше фазовой — нормальная дисперсия.
Обратная ситуация, групповая скорость больше фазовой — аномальная дисперсия.

Итоговая картина — график $n(\omega)$ вблизи области поглощения. Область поглощения — это та самая спектральная линия: частота $\omega_0$ соответствует той длине волны, на которой вы видите линию, и на ней вещество поглощает.

Действительная n′ и мнимая n″ части показателя преломления вблизи линии поглощения ω₀

Вблизи $\omega_0$ кривая для действительной части показателя преломления делает характерный изгиб. Часть этой кривой — ровно в области поглощения — в реальности не наблюдается: в мат-модели она есть, математика всё стерпит, но увидеть её нельзя, потому что на этой длине волны вещество поглощает. Зато наблюдаются участки по краям:

слева и справа от области поглощения — рост $n$ с ростом частоты, то есть нормальная дисперсия;
непосредственно в окрестности линии — аномальная.

Рядом обычно рисуют контур поглощения — насколько сильно поглощается данная длина волны. В реальности он очень узкий, на рисунке его сильно утрируют.

Где это в атмосфере

Для воздуха (водорода, кислорода, азота) и для стекла характерная частота $\omega_0$ лежит в ультрафиолетовой области. Именно поэтому атмосфера режет наиболее жёсткий ультрафиолет.

И именно поэтому, когда солнце низко над горизонтом — что характерно для севера, — световые лучи проходят более толстый слой атмосферы: солнце не над головой, а сбоку, и эквивалентная толщина атмосферы увеличивается. На севере загорать сложно (не невозможно, но сложно), на юге — гораздо проще. А у тех, кто живёт на севере, кожа содержит мало пигмента, потому что ультрафиолета нужно побольше; при переезде в южные широты с такой кожей возникают ровно обратные проблемы — просто обжигаются.

Предыдущая Квант и поляризация Следующая Тепловое излучение и фотоэффект