Фотоэффект, давление света, эффект Комптона

Фотоэффект

Установка

Фотоэлемент — это, по сути, стеклянная колба с откачанным воздухом, внутри которой есть катод и анод. На катод светят, из катода вылетают электроны. Вылетают они, разумеется, только если им сообщить достаточно энергии.

Схема подключения: к электродам подключается батарея, последовательно с ней — амперметр, для регулировки напряжения — реостат (переменное сопротивление), а параллельно всему этому — вольтметр.

Амперметр фиксирует анодный ток — фактически число электронов, долетающих до анода за единицу времени. По горизонтали на графике откладывается напряжение $U_{AK}$ между анодом и катодом:

• $U_{AK} > 0$ — плюс подключён к аноду, вылетевшие электроны притягиваются к нему;
• $U_{AK} < 0$ — обратное включение, плюс на катоде.

Почему электрон тормозится

Если есть напряжение, то есть разность потенциалов, а значит и градиент потенциала — направление его роста. Электрическое поле направлено против градиента:

Сила Кулона $\vec F = q\vec E$, а у электрона заряд отрицательный, поэтому сила направлена против поля. По второму закону Ньютона $\vec F = m\vec a$ ускорение направлено туда же, куда сила. Значит при прямом включении электрон ускоряется к аноду, а при обратном — поле тянет его обратно к катоду.

Может ли электрон долететь до анода при обратном включении? График говорит, что да. Это возможно, если он вылетел с большой скоростью.

Через силы такую задачу решать неудобно: она векторная, нужно знать расстояния и направления. Через энергию всё сводится к сложению и вычитанию вещественных чисел. Скорости нерелятивистские, поэтому кинетическая энергия электрона — $\dfrac{mv^2}{2}$. Тормозящее поле совершает над электроном работу $eU$. Если

то поле отобрало всю энергию: электрон летел, скорость падала, падала и в какой-то момент обнулилась. Даже если до анода не хватило тысячной доли нанометра — это не считается.

Как сотую долю балла до 90 не добрал: злой преподаватель «отлично» не поставит. Знакомый случай из Вышки — одной сотой не хватило. Очень жаль, но в другой раз.

Дальше поле толкает электрон обратно, а с отношением заряда к массе порядка $10^{11}$ ускорение получается огромным. Электроны не долетают — цепь фактически разорвана — амперметр показывает ноль.

Вольт-амперная характеристика

Ток растёт нелинейно — это не закон Ома. И при этом в какой-то момент рост прекращается — наступает насыщение.

Почему это странно: ток пропорционален скорости электронов, а чем больше напряжение, тем больше скорость. Если на начальном участке ток растёт, он должен был бы расти и дальше. Но при фиксированной интенсивности ток выходит на ток насыщения.

Такой же график есть в любом учебнике экономики — объём продаж от времени. Выкинули на рынок новый айфон: сначала все пытаются понять, лучше ли он старого, потом все его покупают, а дальше он нужен только тем, кто утопил, разбил или кому срочно нужен второй. Поэтому экономисты — не гуманитарии: хорошие очень дружат с математикой, статистикой и корреляционным анализом. Гуманитарии — это плохие экономисты.

Напряжение, при котором ток обращается в ноль при обратном включении, называется задерживающим напряжением U_з. Его снимали в лабораторной 5.07: потихоньку увеличивали обратное напряжение и смотрели, как падает ток, пока он не станет нулевым.

Задерживающее напряжение позволяет найти максимальную кинетическую энергию вылетевших электронов:

Электронвольт

Заряд электрона порядка $10^{-19}$ Кл — считать с ним неудобно. Поэтому ввели единицу энергии электронвольт:

1 эВ — энергия, которую приобретает электрон, пройдя разность потенциалов 1 В.

$$1\ \text{эВ} = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{Дж}$$

Теперь всё просто: прошёл 3 В — энергия 3 эВ. Электрон с энергией 5 эВ попадает в область с обратным напряжением 3 В — теряет 3 эВ. Атомная физика стала арифметикой первого класса. Именно так выглядят задачи ЕГЭ на фотоэффект: если в школе рассказали, как его считать, задача тривиальна.

Законы фотоэффекта (Столетов)

Эксперименты с фотоэффектом шли несколько лет, потому что вылезало слишком много проблем. Столетов выделил три закона, которые описывают то, что он наблюдал экспериментально, но объяснить их не смог.

Важный принцип эксперимента: меняем только одну характеристику за раз. Иначе непонятно, что на что влияет.

1. Ток насыщения пропорционален падающему световому потоку.

Световой поток — это интенсивность, то есть мощность на квадратный метр. Подняли интенсивность — график пошёл выше, ток насыщения вырос. Убавили — упал. Почему — неизвестно.

2. Задерживающее напряжение линейно зависит от частоты света.

Сохраняем интенсивность, но меняем длину волны. Чем короче длина волны (больше частота), тем дальше влево уползает точка нулевого тока — тем больше U_з. Зависимость не прямо пропорциональная, а линейная:

Константа $a$ одинакова для всех веществ, а $b$ — своя для каждого. Если построить графики для разных веществ (цезий, медь и т. д.), получатся параллельные прямые с одинаковым наклоном, сдвинутые друг относительно друга.

3. Существует красная граница фотоэффекта.

При монохроматическом излучении есть предельная длина волны: при большей длине волны фотоэффекта нет, при меньшей — есть. Это и есть красная граница — минимальная частота и максимальная длина волны.

Почему «красная»: в конце XIX века единственный доступный диапазон был оптический. Например, спектральные линии водорода в видимой области нашли в конце XIX века, а в инфракрасной и ультрафиолетовой — около 1910–1920-х годов, когда появились приборы. На деле граница может быть и фиолетовой, и ультрафиолетовой — некоторые металлы приходится облучать довольно жёстким ультрафиолетом. Но название осталось.

Это была первая большая проблема фотоэффекта. Энергия вроде бы определяется интенсивностью — энергией в единицу времени на квадратный метр. Какая разница, красный свет, зелёный или инфракрасный? Не хватает энергии за секунду — посветим две, час, неделю. А не работает.

Безынерционность. Фотоэффект возникает практически мгновенно: сделали частоту больше красной границы — появился, меньше — исчез. Свет включили — есть, выключили — нет. Не то чтобы строго мгновенно, но ни приборы, ни человек этот интервал не фиксируют.

Уравнение Эйнштейна

Похоже, работ Планка ни Столетов, ни сначала Эйнштейн не читали — они лежали на немецком где-то в Германии, интернета не было. В 1905 году Эйнштейн объяснил уравнение Столетова.

В уравнении U_з = a\nu - b и $a\nu$, и $b$ измеряются в вольтах. Домножим обе части на заряд электрона — слева получится кинетическая энергия электрона, справа — тоже энергии:

За эту формулу Эйнштейн и получил Нобелевскую премию.

• $h\nu$ — энергия фотона (формула Планка): свет приходит порциями, энергия порции пропорциональна частоте с коэффициентом $h$;
• $A$ — работа выхода;
• \dfrac{mv_{\max}^2}{2} = eU_з — кинетическая энергия вылетевшего электрона. Скорость при этом никто не меряет — меряют задерживающее напряжение.

Отсюда смысл констант Столетова:

Работа выхода

Работа выхода — энергия, которую нужно затратить, чтобы вырвать электрон из металла.

Почему она вообще нужна: металл — это ионы кристаллической решётки и свободные электроны. Раз есть свободные электроны, то от каждого атома, скорее всего, оторвано по одному электрону, и все атомы — однозарядные положительные ионы. На границе металла с вакуумом внизу полно ионов, а сверху их нет. Электрон между ионами тянет вглубь (у него минус, у ионов плюс), снаружи его ничего не тянет. Чтобы он вылетел, ему нужно сообщить энергию. Часть её он тратит на выход, остаток — его кинетическая энергия.

Если энергии фотона ровно хватает на выход ($h\nu = A$), электрон вываливается с нулевой кинетической энергией, и ВАХ идёт точно из нуля. Без внешнего напряжения светим, а тока нет: электроны вываливаются, скапливаются у катода и в какой-то момент начинают мешать вылетать следующим.

Объяснение красной границы

Свет — это порции. Если энергии порции хватает, чтобы выбить электрон, он выбивается. Не хватает — не выбивается, сколько ни свети. А пока нет выбитых электронов в вакууме, разность потенциалов между анодом и катодом не в состоянии вырвать их сама.

Энергию фотона можно записать через частоту, через постоянную Планка с чертой или через длину волны:

Минимальная энергия — это работа выхода, поэтому красная граница:

Измерив длину волны красной границы, мы находим работу выхода.

Волновая оптика здесь бессильна: если свет — волна, никакой красной границы быть не должно. Волна несёт энергию, для выбивания электрона нужна энергия — посвети несколько секунд, и она накопится. Ситуация «энергии не хватит в любом случае» возможна, только если энергия сосредоточена в очень маленькой области, которая либо попадает в электрон, либо нет. Фотон — частица, которая при попадании в электрон может его выбить.

Характерные значения

• видимый диапазон — примерно от 1,5 до 3 эВ;
• меньше 1,5 эВ — инфракрасное излучение;
• больше 3 эВ — ультрафиолет.

Для сравнения: при распаде одного ядра урана выделяется около 200 МэВ — 200 миллионов электронвольт. С точки зрения внешнего наблюдателя это тоже очень мало — заметно становится, когда распадов очень много.

Измерение постоянной Планка

Эксперимент:

1. Берём источник со сплошным спектром — лучше всего лампу накаливания.
2. Ставим монохроматор с узкой щелью, чтобы вырезать узкий диапазон длин волн, и пересчитываем длины волн в частоты.
3. Светим на фотоэлемент и для разных частот фиксируем задерживающее напряжение.
4. Строим график U_з(\nu). Реально точки будут только выше оси, но прямую продолжаем до пересечения с осями.

• Тангенс угла наклона — $\dfrac{h}{e}$. Он очень маленький, потому что напряжения — вольты, а частоты — порядка $10^{14}$ Гц (сотни терагерц).
• Отрезок на вертикальной оси — $\dfrac{A}{e}$.

Так из одного эксперимента получаются и постоянная Планка (если с высокой точностью известен заряд электрона), и работа выхода. Фотоэффект до сих пор остаётся стандартным способом уточнения постоянной Планка: всё, что нужно точно мерить, — напряжение.

Импульс фотона

Импульс фотона можно вывести из релятивистской динамики. Связь энергии и импульса:

Массы покоя у фотона нет, поэтому

Формула позволяет найти импульс фотона, но с оговоркой: импульс — вектор, а справа стоят два скаляра. Получаем численную характеристику, но ничего не знаем о направлении. Поэтому формула оценочная. Векторное уравнение, связывающее импульс с длиной волны, существует, но оно чуть сложнее.

В школе с этим никто не напрягается — как и с законом всемирного тяготения или законом Кулона: слева вектор силы, справа массы, квадрат расстояния и гравитационная постоянная — сплошь скаляры. Куда направлена сила тяготения? «Ну, к телу». Уравнение пригодно для оценки, но не для точных расчётов, потому что не даёт направления.

Раз у фотона есть импульс, он может передать его веществу — свет создаёт давление. Маленькое, но создаёт.

Частица, движущаяся со скоростью света, не может иметь массы покоя: частицу с массой покоя невозможно разогнать до $c$, нужная для этого энергия уходит в бесконечность. Энергия фотона $h\nu$ — это его кинетическая энергия, энергии покоя у него нет.

Аннигиляция и рождение пар

Самый интересный эффект — преобразование массы в энергию. Возьмём электрон и антиэлектрон (позитрон). По формуле $E = mc^2$ каждый обладает энергией покоя $m_0c^2$, вместе — $2m_0c^2$.

Направим их навстречу: при столкновении массы исчезают. Процесс называется аннигиляцией (от латинского nihil — «ничто»). Но получается не ничто, а чистая энергия:

Почему два фотона: должен выполняться закон сохранения импульса. Было две частицы — после столкновения тоже должны получиться две частицы. Законы сохранения энергии и импульса обязаны работать, просто в релятивистской форме.

Законы сохранения связаны со свойствами пространства-времени:

Если заявить, что закон сохранения не выполняется, вы тем самым постулируете неоднородность времени или пространства. Продемонстрировать это вряд ли получится.

Возможна и обратная операция — рождение пары. Напрямую из фотона пару не получить, но в мощном электрическом поле (например, поле ядра) фотон превращается в пару электрон–позитрон. Это наблюдалось экспериментально — есть фотографии треков частицы и античастицы: в магнитном поле они расходятся в разные стороны. Энергия $2m_0c^2$ довольно большая, поэтому такие фотоны — это гамма-излучение.

Мимо этой формулы не прошли фантасты и придумали позитронную пушку — устройство, которое выпускает пучок позитронов. При этом забыли, что в воздухе пучок начнёт аннигилировать прямо со среза ствола. Первой, наверное, испарится сама пушка.

Корпускулярные свойства света

Фотоэффект и излучение чёрного тела — то, на чём споткнулась волновая оптика. Их изучение привело к тому, что свет обладает не только волновыми, но и корпускулярными свойствами — это частицы.

Давление света

Если у фотонов есть импульс, давление фотонов можно рассматривать так же, как давление молекул газа. Отличия: скорость у фотонов — $c$, а массы как таковой нет, но импульс есть.

Вывод формулы

Давление — сила на единицу площади, а сила по второму закону Ньютона — изменение импульса за единицу времени:

Возьмём параллелепипед: площадь основания $S$, третья сторона — $c\Delta t$. Все фотоны, попавшие в этот объём, за время $\Delta t$ точно долетят до стенки и передадут ей импульс.

Передача импульса возможна двумя способами с разным результатом:

• поглощение — фотон «влипает» в стенку, изменение импульса равно начальному импульсу: \Delta p_{погл} = \dfrac{h}{\lambda};
• отражение — импульс был направлен в одну сторону, потом в другую, суммарное изменение вдвое больше: \Delta p_{отр} = 2\dfrac{h}{\lambda}.

Поэтому при одном и том же пучке давление на белую поверхность больше, чем на чёрную.

Вообще взаимодействие света с веществом описывается тремя коэффициентами: отражения, пропускания и поглощения. Считаем поверхность непрозрачной: всё, что не отразилось, поглощается.

Введём коэффициент отражения $\alpha$ — долю отражённых фотонов. Из $N$ фотонов $\alpha N$ отразятся, $(1-\alpha)N$ поглотятся:

Число фотонов выражаем через концентрацию $n$ — число частиц в единице объёма:

Подставляем — $S$ и $\Delta t$ уходят влево и дают давление. Вместо уравнения на импульс, который нужно как-то мерить, получаем уравнение на давление — макроскопическую величину, которую померить можно:

Произведение $n\cdot h\nu$ — энергия света в единице объёма, объёмная плотность энергии $w$ (Дж/м³):

Объёмную плотность энергии можно выразить через интенсивность $I$ — энергию за единицу времени на единицу площади, зная скорость частиц:

Интенсивность можно посчитать, зная мощность источника.

Опыт Лебедева

Впервые давление света измерил П. Н. Лебедев в 1899 году. В стеклянной колбе с откачанным воздухом он подвесил вертушку с лопастями: одна покрашена в чёрный, другая в белый. На неё светили светом и смотрели, как вертушка начинает поворачиваться — давление на лопасти отличалось ровно в два раза. Опыт до сих пор считается уникальным.

Солнечный парус

Идея с практическим применением — солнечный парус: двигатель для космического аппарата, которому не нужно топливо. Вытаскиваем на орбиту парус площадью хотя бы 100 м², разворачиваем к Солнцу — и световое давление создаёт постоянную тягу. Регулируя положение паруса, можно управлять движением, как парусный корабль идёт под ветром.

Оценим. Для Солнца на расстоянии орбиты Земли $I \approx 1300\ \text{Вт/м}^2$. Для поглощающей поверхности:

Это 4,3 мкН на каждый квадратный метр. Парус 10×10 м:

Пусть масса аппарата 100 кг:

Очень мало, но действует постоянно: за 10 дней набегает около 4 м/с, за полгода — около 70 м/с. Эксперимент долгий, но никто не мешает сделать парус больше 100 м².

Фантасты и тут придумали фотонный двигатель: в фокусе зеркала происходит аннигиляция, и мощность светового потока на много порядков выше солнечной. Как зеркалу при этом уцелеть и не испариться — фантасты особо не задумываются.

Отступление: проблема ракет

Основная проблема современной космонавтики — скорость истечения продуктов сгорания из реактивного двигателя: максимум 4–5 км/с. Хочется скоростей в сотни километров в секунду, но для этого нужны тысячи тонн топлива.

Чтобы вывести на орбиту полезный груз 20 т, на старте ракета должна весить около 500 т — 480 т уйдёт «в никуда». Причём в эти 20 т входит масса цистерны: она должна выдерживать как минимум пятикратную перегрузку, иначе лопнет, так что пару-тройку тонн она весит. Бочку с топливом потом нужно куда-то пристыковать — значит, нужен двигатель и запас топлива на стыковку. В лучшем случае полезного остаётся тонн 15: пятьсот на старте — пятнадцать наверху.

Можно добывать топливо на месте, но для этого нужен космонавт с лопатой, и сначала до места нужно добраться — желательно живым. Просто долететь несложно: вышли на орбиту, разогнались до 11 км/с и попали, а то, что скорость в момент встречи будет 3–4 км/с, — мелочь. А вот добраться живым — проблема, и сейчас она не решена. Кроме химических источников энергии для двигателей пока ничего нет — остальное на уровне лабораторных экспериментов.

Эффект Комптона

Эффект Комптона окончательно обрушил волновую оптику, а заодно и классическую электродинамику.

Классическое предсказание

Эффект касается поведения заряженной частицы в переменном электромагнитном поле. В роли частицы лучше всего выступает электрон — свободный электрон проще всего получить: взяли металлическую пластину, нагрели, получили электроны. Другие заряженные частицы получить гораздо сложнее.

Переменное электромагнитное поле — это электромагнитная волна. Что говорит классика: пусть электрон условно неподвижен. На него налетает волна — колебания электрического и магнитного полей. Сила Кулона раскачивает электрон, и он начинает колебаться в той же плоскости, где колеблется электрическое поле. Одновременно идут два процесса:

1. Электрон поглощает энергию из волны — чтобы раскачать массу, нужно потратить энергию, даром ничего не происходит.
2. Колеблющийся заряд сам создаёт переменное поле: он перемещается, расстояния от него до разных точек пространства меняются. По уравнениям Максвелла переменное электрическое поле порождает переменное магнитное — короче, электрон излучает.

И излучать он должен на той же частоте, на которой его раскачали. По-другому в классике не получается.

Опыт Комптона

В 1922 году Комптон обнаружил, что рассеянное излучение содержит компоненту с большей длиной волны: $\lambda' > \lambda$.

Комптон выбрал наиболее энергичное излучение, какое было в его распоряжении, — рентгеновское. Рентгеновские трубки тогда уже были и активно использовались в медицине: чтобы сфотографировать сломанную кость, рентген незаменим. До этого хирург должен был увидеть перелом глазами, чтобы понять — срастётся сам или проще отрезать.

Рентгеновский пучок направляли на вещество со свободными электронами (парафин). В рассеянном излучении фиксировали:

• исходную длину волны $\lambda$ — явно не весь пучок попал по электронам, что-то прошло мимо;
• второй пучок, рассеянный под углом, с другой, немного большей длиной волны $\lambda'$.

Эффект Комптона — рассеяние электромагнитного излучения на свободных электронах вещества со сдвигом длины волны (её увеличением).

Заметно проявляется только для рентгеновского и гамма-излучения. С гамма-излучением сплошные проблемы: его надо получить, собрать в пучок, потом поймать. Поэтому чаще работают с рентгеном.

Формула сдвига

Связь угла рассеяния и изменения длины волны оказалась очень простой:

Длина волны в метрах, $1-\cos\varphi$ безразмерно — значит, коэффициент пропорциональности тоже в метрах. Не особо напрягаясь, Комптон назвал его своим именем — комптоновская длина волны:

$\lambda_K$ зависит только от массы частицы, постоянной Планка и скорости света — ни от длины волны, ни от вещества она не зависит. Сдвиг $\Delta\lambda$ тоже не зависит от вещества и от длины волны падающего излучения — только от угла рассеяния $\varphi$, и с ростом угла растёт.

Почему удобнее работать в рентгене: в видимом диапазоне длины волн — сотни нанометров, то есть сотни тысяч пикометров. Заметить на их фоне изменение на пару пикометров сложно. Рентгеновские длины волн примерно в тысячу раз меньше, и там сдвиг уже заметен.

Механическая модель

Электродинамика объяснить эффект не смогла, а решение, как ни странно, нашлось в механике. Пусть есть неподвижное тело массы $m$, и в него влетает другое — про его массу ничего не говорим, говорим только, что у него есть импульс. Как в бильярде: налетающий шарик отлетает в одну сторону, мишень — в другую. Импульс налетающего после удара будет меньше — часть ушла мишени. Это не совсем бильярд: ударный шарик маленький, а цель большая. Сверху получается треугольник импульсов — импульс раскладывается на два, и закон сохранения энергии тоже никто не отменял.

Мишень — электрон. Налетающий шарик — фотон. Его импульс уменьшается, а раз $p = \dfrac{h}{\lambda}$, то длина волны обязана увеличиться. Это возможно, только если свет — не волна, а поток частиц.

Как выразился М. Борн, «эффект Комптона — это игра в бильярд фотонами и электронами».

Эффект Комптона стал последней соломинкой, сломавшей спину верблюду, — окончательным доказательством того, что у света есть не только волновые свойства.

Законы сохранения для системы фотон–электрон

Подробный вывод — на следующей лекции. Исходные данные:

Закон сохранения импульса (теорема косинусов для треугольника импульсов):

Закон сохранения энергии:

Совместное решение и даёт